Operasi Vektor & Contoh soalnya

Hii semuanya!, apa kabar? Semoga baik ya

Di blog aku kali ini aku akan membahas tentang materi matematika peminatan kelas 10 lagi nih!

yuk langsung simak

Operasi Vektor beserta Contoh soalnya

Pengertian Vektor :

Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti $ec{v}$ atau $ar{v}$ atau juga:

$ec{AB}$

Misalkan vektor $ar{v}$ merupakan vektor yang berawal dari titik $A(x_1,y_1)$ menuju titik $B(x_2,y_2)$ dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah $v_1 = x_2 - x_1$ dan panjang garis sejajar sumbu y adalah $v_2 = y_2 - y_1$ merupakan komponen-komponen vektor $ar{v}$ .

Operasi Vektor :

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika $ec{a} = left(egin{array}{r} a_1 a_2end{array} ight)$ dan $ec{b} = left(egin{array}{r} b_1 b_2end{array} ight)$ maka:

$ec{a} + ec{b} = left(egin{array}{r} a_1+b_1 a_2+b_2end{array} ight)$

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan dan pengurangan vektor

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

$ar{a} - ar{b} = left(egin{array}{r} a_1-b_1 a_2-b_2end{array} ight)$

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

$ar{a} + ar{b} = ar{b} + ar{a}$
$ar{a} + (ar{b}+ar{c}) = (ar{a} + ar{b}) + ar{c}$

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika $ar{v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

$k.ar{v}$

Dengan ketentuan:

Jika k > 0, maka vektor $k.ar{v}$ searah dengan vektor $ar{v}$
Jika k < 0, maka vektor $k.ar{v}$ berlawanan arah dengan vektor $ar{v}$
Jika k = 0, maka vektor $k.ar{v}$ adalah vektor identitas $ar{o} = ^0_0$

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

perkalian vektor dengan skalar

Secara aljabar perkalian vektor $ar{v}$ dengan skalar k dapat dirumuskan:

$k.ar{v} = left(egin{array}{r} k.v_1 k.v_2end{array} ight)$

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

$ar{a}.ar{b}$ (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor $ar{a}$ dan $ar{b}$ dilakukan dengan mengalikan panjang vektor $ar{a}$ dan panjang vektor $ar{b}$ dengan cosinus $heta$ . Sudut $heta$ yang merupakan sudut antara vektor $ar{a}$ dan vektor $ar{b}$ .

Sehingga:

$ar{a} cdot ar{b} = midar{a}midmidar{b}mid cos heta$

Dimana:

perkalian skalar dua vektor

Perhatikan bahwa:

Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
$ar{a}.ar{a} = (ar{a}^2)$
$ar{a}.(ar{b}+ ar{c}) = (ar{a} . ar{a}) + (ar{a} . (ar{c})$

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam $R^3$ dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik $A(x_1,y_1,z_1)$ dan titik $B(x_2,y_2,z_2)$ maka jarak AB adalah:

$AB = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}$

Atau jika $ar{v} = left(egin{array}{r} v_1 v_2 v_3 end{array} ight)$ , maka

$midar{v}mid = sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}$

Vektor $ar{AB}$ dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom $ar{AB} = left(egin{array}{r} b_1 - a_1 b_2 - a_2 b_3 - a_3end{array} ight)$ atau dalam baris $ar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3)$ . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis $ar{l}(1,0,0)$ dan $ar{J}(0,1,0)$ dan $ar{K}(0,0,1)$ berikut:

$ar{v} = left(egin{array}{r} v_1 v_2 v_3end{array} ight) = v_1left(egin{array}{r} 1 0 0end{array} ight) + v_2left(egin{array}{r} 0 1 0end{array} ight) + v_3left(egin{array}{r} 0 0 1end{array} ight)$

$ar{v} = v_1ar{I} + v_2ar{J} + v_3ar{K}$

vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di $R^3$ secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di $R^2$ dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di $R^3$ sama dengan vektor di $R^2$ yaitu:

$ar{a} + ar{b} = left(egin{array}{r} a_1 a_2 a_3end{array} ight) + left(egin{array}{r} b_1 b_2 b_3end{array} ight) = left(egin{array}{r} a_1+b_1 a_2+b_2 a_3+b_3end{array} ight)$

Dan

$ar{a} - ar{b} = left(egin{array}{r} a_1 a_2 a_3end{array} ight) - left(egin{array}{r} b_1 b_2 b_3end{array} ight) = left(egin{array}{r} a_1-b_1 a_2-b_2 a_3-b_3end{array} ight)$

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika $ar{v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

$k.ar{v} = left(egin{array}{r} k.v_1 k.v_2 k.v_3end{array} ight)$

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di $R^3$ , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika $ar{a} = aar{I} + a_2ar{J} + a_3ar{K}$ dan $ar{b} = b_1ar{i} + b_2ar{j} + b_3ar{k}$ maka $ar{a}.ar{b}$ adalah:

$ar{a}.ar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)$

Contoh soal :

1. Diketahui vektor

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})

, vektor

\vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

,
dan vektor

\vec{c} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \end{matrix})

. Jika

2 \vec{a} - 3 \vec{b} + k \vec{c} = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \end{matrix})

, dengan

k

bilangan real,
maka nilai

k

adalah . . . .

A . - 5

B . - 3

C . - 1

D . 1

E . 3

E . 3

360p geselecteerd als afspeelkwaliteit

Terimakasi telah berkunjung

sampai ketemu di blog aku selanjutnyaaa

wassalamualaikum Wr. Wb

Cari Blog Ini

Senangnya diterima di SMAN 63 Jakarta