Vektor, Jenis Vektor, Operasi Vektor & Contoh soalnya

Haii semuanyaa apa kabar? 

Semoga baik yaa.. Oke, Diblog aku kali ini aku akan membahas materi matematika peminatan kelas 10 lagi ni gaes..

materi yang akan aku bahas yaitu :

Vektor, Jenis Vektor, Operasi Vektor dan contoh soalnya

Pengertian Vektor :

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah.Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .

Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.

Penulisan nama vektor :

1. dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor AB ⃗
2. adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.
3. sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh a̅

---

Sebagai Contoh

 

 

 

 

 

 

Jenis Jenis Vektor

• Vektor Nol adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
• Vektor Posisi adalah Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi.
  
• Vektor Basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.

 

• Vektor satuan Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari 

---

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut :

1. Vektor kolom ( matriks kolom )
   
2. Vektor baris ( matriks baris )
   
3. Vektor basis
   

---

Contoh Soal Vektor Kolom, Baris dan Basis Dan Jawabannya

MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )

Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

  

Contoh Soal PANJANG VEKTOR Dan Jawabannya

PEMBAGIAN RUAS GARIS VEKTOR

Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n . Maka :

Pada perbandingan AP : PB = m : n ,

1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 .
2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 .
3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .

---

Contoh Soal PEMBAGIAN RUAS GARIS VEKTOR Beserta Jawabannya

Operasi Vektor











 

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai:

Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut  yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis  dan berikut:

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika  dan  maka:

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

Atau jika , maka

Vektor  dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom  atau dalam baris . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis  dan  dan  berikut:

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di  secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di  dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di sama dengan vektor di  yaitu:

Dan

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika  adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika  dan  maka  adalah:

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor  diproyeksikan ke vektor dan diberi nama  seperti gambar dibawah:

Diketahui:

Sehingga:

 atau 

Untuk mendapat vektornya:

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.

Pembahasan 1:

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor  bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

• 

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

• 

sehingga:

Maka kelipatan m dalam persamaan:

Diperoleh:

• 
  
• 
  

disimpulkan:

p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

Pembahasan 2:

Dari gambar dapat diketahui bahwa:

•  sehingga 
• 

Sehingga:

Contoh Soal 3

Misalkan vektor  dan vektor . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ pada  adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:

Diketahui:

• 
• 

Maka:

12=8+2y

y=2

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

• 
• 

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika  adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Dengan ketentuan:

• Jika k > 0, maka vektor  searah dengan vektor 
• Jika k < 0, maka vektor  berlawanan arah dengan vektor 
• Jika k = 0, maka vektor  adalah vektor identitas 

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

Secara aljabar perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan:

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

 (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor  dan  dilakukan dengan mengalikan panjang vektor  dan panjang vektor  dengan cosinus . Sudut yang merupakan sudut antara vektor dan vektor .

Sehingga:

Dimana:

Perhatikan bahwa:

• Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
• 
• 

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. 

Sekian Blog aku kali ini semoga bermanfaat buat kalian yaaa.. 

jaga kesehatan yap😷

Daftar pusaka :

gurupendidikan.co.id

studiobelajar.com

jangan lupa kunjungi Blog 👆🏻Juga ya!!

salam terimakasih🙏🏻