Soal-Soal pertidaksamaan logaritma dan sifat-sifatnya

Assalamualaikum manteman kuhh, apa kabar nihh?? Semoga baik-baik saja yaa amiin😊

Kali ini aku akan membahas tentang Soal-soal Pertidaksamaan Logaritma Dan Sifat sifat nya..

Cuss kita liat soal-soalnyaa...

Rumus-Rumus Pertidaksamaan Logaritma

A. Untuk a < 0 < 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
  1. Jika ^alog f(x) < ^alog g(x) → f(x) > g(x)
  2. Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) → f(x) ≥ g(x)
  3. Jika ^alog f(x) > ^alog g(x) → f(x) < g(x)
  4. Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) → f(x) ≤ g(x)

B. Untuk a > 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
  1. Jika ^alog f(x) < ^alog g(x) → f(x) < g(x)
  2. Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) → f(x) ≤ g(x)
  3. Jika ^alog f(x) > ^alog g(x) → f(x) > g(x)
  4. Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) → f(x) ≥ g(x)

Supaya kalian lebih paham lagi, cuss ke soal nyaa..

1. 4log (2x² + 24) > 4log (x² + 10x)

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) > (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >0

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

2. 2log (5x – 16) < 6

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2log (5x – 16) < 2log 26

2log (5x – 16) < 2log 64

         5x – 16 < 64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

3. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5 ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4. 3log (2x + 3) > 3log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6 ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

.5

Tentukan nilai x dari persamaan logaritma 3log2x - 7.3log x + 12 = 0

Pembahasan

Misalkan : p = 3log x

Maka :

p2 - 7p + 12 =

(p - 4)(p - 3) = p = 4 dan p = 3

Substitusi nilai p = 3log x, sehingga diperoleh nilai x:

3log x = p (masukkan nilai p = 4)

3log x = 4 ⇒ x = 34 = 81

3log x = p (masukkan nilai p = 3)

3log x = 3 ⇒ x = 33 = 27

Jadi nilai x nya adalah {81, 27}

1. 5log 3x + 5 < ⁵log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.3log (2x + 3) > ³log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  ²log (6x + 2) < ²log (x + 27)

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5   ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  ²log (5x – 16) < 6

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

²log (5x – 16) < ²log 26

²log (5x – 16) < ²log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  ⁴log (2x² + 24) > ⁴log (x² + 10x)

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.  ^x+1log (2x – 3) < ^x+1log (x + 5)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan x+1>0  

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) >  (x + 5)

   2x - x > 5 + 3

          x >  8         ...(4)

    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

  

Untuk  x+1>1 atau x > 0 . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) <  (x + 5)

   2x - x < 5 + 3

          x <  8         ...(4)

    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.

Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.

7.  ^2x-5log (x² + 5x) > ^2x-5log (4x + 12)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0  

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk  0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3        . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3                       . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) < (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 < 0

        x² + x - 12 < 0

    (x + 4)(x - 3) < 0 

       -4 < x < 3              . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

     

     Untuk  2x-5 > 1 atau  x > 3       . . . (1) 

     Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

    

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 > 0

         x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0 

x <-4 atau  x > 3        . . . . . (4)

  

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3

8. Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{\frac{1}{4}}log(x^2+3x+2)>{}^{\frac{1}{4}}log(5x+5)$ adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x² + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)
x² + 3x + 2 < 5x + 5
x² − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E

9.  5log 3x + 5 < 5log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

10.  3log (2x + 3) > 3log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

Terimakasih sudah berkunjung manteman🙏..

Wassalamuallaikum Wr.Wb😊