Soal - Soal Pertidaksamaan Eksponen dan Sifat -sifat nya

Assalamualaikum ... Hai apakabar nih? Semoga sehat selalu yaaa😇...

Oke, Hari ini aku bakal bahas tentang

Soal-soal pertidaksamaan Eksponen & sifat-sifatnya..

Yuk simak bareng-bareng..

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk $a>1$

Jika $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ , maka $f(x)>g(x)$

Contoh:

$2^{3x}>2^6$

Maka:

$3x > 6$

Jika $a^{f(x)}<a^{g(x)}$ , maka $f(x)<g(x)$

Contoh:

$2^{3x}<2^6$

Maka:

$3x<6$

Jika
Untuk $0 < a < 1$
Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ , maka $f(x)<g(x)$
Contoh:
$\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6$
Maka:
$3x < 6$
- Jika $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ , maka $f(x) \ge g(x)$
Contoh:
$\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6$
Maka:
$3x \ge 6$

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen $3^{-x^2+3x} \le 1$ adalah:

Pembahasan

$3^{-x^2 + 3x} \le 1$

$3^{-x^2 + 3x} \le 3^0$

Sehingga,

$-x^2 + 3x \le 0$

$x(-x + 3) \le 0$

Diperoleh,

$x_1 = 0$ dan $x_2 = 3$

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang $0<x<3$ kemudian disubstitusikan kedalam bentuk $-x^2 + 3x \le 0$ . Misal ambil x = 1.

$-(1)^2 + 3(1) \le 0$

$- 1 + 3 \le 0$

$2 \le 0$ (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang $0<x<3$ , sehingga didapat penyelesaiannya adalah

$x\le 0$ dan $x\le 3$

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \(\begin{align}

\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}\) adalah ...
A. {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B. {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C. {x / x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
D. {x / x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
E. {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3 atau x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3 atau x ≥ 2

Jawaban : C

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...

A. 1 < x < 2
B. 5 < x < 25
C. x < -1 atau x > 2
D. x < 1 atau x > 2
E. x < 5 atau x > 25

Pembahasan :
5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0
(5^x)² - 6.5^x.5¹ + 125 > 0
(5^x)² - 30(5^x) + 125 > 0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5 atau y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5 atau y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5 atau 5^x > 25
5^x < 5¹ atau 5^x > 5²
x < 1 atau x > 2

Jawaban : D

4. Himpunan penyelesaian dari 2^2x − 7 ∙ 2^x > 8 adalah ….

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R}
D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan

Misalkan p = 2^x sehingga 2^2x = p².

   2^2x − 7 ∙ 2^x > 8
   p² − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

p < −1    atau    p > 8
2^x < −1    atau 2^x > 8

Penyelesaian 2^x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2^x > 8.

2^x > 8
2^x > 2³
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3²^x⁺¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0, x ∈ R adalah ….

A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

Pembahasan

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 3²^x⁺¹ menjadi 3²^x ∙ 3¹.

   3²^x⁺¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0
3²^x ∙ 3¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0

Misalkan p = 3^x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

3p² − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

p < 1/3    atau    p > 9
3^x < 3⁻¹   atau 3^x > 3²
  x < −1    atau   x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

6. Himpunan penyelesaian dari 9^x − 54 > 3^x⁺¹ adalah ….

A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R}
C.   {x│x > 4, x ∈ R}
D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

PEMBAHASAN

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9^x − 3^x⁺¹ − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus a^m⁺ⁿ = a^m ∙ aⁿ.

9^x − 3^x . 3¹ − 54 > 0

Misalkan p = 3^x sehingga 9^x = p².

p² − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

p < −6   atau    p > 9
3^x < −6   atau 3^x > 9

Penyelesaian 3^x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3^x > 9.

3^x > 9
3^x > 3²
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

6. Tentukan himpunan penyelesaian 2x + 2 > 16 x 2.

Jawab:

2x + 2 > 16 x 2

2x + 2 > 24 ( x 2.)

X + 2 > 4 ( x – 2)

X + 2 > 4x – 8

3x < 10

X < 10/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x < 10/3, x ∈ R}

Materi hari ini cukup sampe sini ajaa..

Terimakasih wassalamuallaikum👏💞🙏

Cari Blog Ini

Senangnya diterima di SMAN 63 Jakarta